Leonardo, Pacioli e le tavole della "Divina proportione" 1498

Il Compedium de Divina proportione (1498) di Luca Pacioli presenta un'immagine geometrica del mondo disegnata a partire dalla volgarizzazione del XIII libro degli Elementi di Euclide. Pacioli fonda il suo discorso sulla base dell'idea metafisca che l'universo sia stato plasmato dal Creatore mediante le proporzioni e in particolare mediante la "sezione aurea", che il frate di Sansepolcro chiama appunto divina proportione. Nella redazione del manoscritto per Ludovico il Moro giocò un ruolo importante il genio vinciano.

Leonardo, che nel dipingere appariva agli occhi di Pacioli come il “principe oggi fra’ mortali”, era sicuramente nel campo della visualizzazione dei poliedri il degno erede di Piero della Francesca, il “monarca” della pittura, come lo aveva definito frate Luca nella Summa. Leonardo, infatti, realizzò tavole dei poliedri tali “ch’in prospectivo disegno – come notò lo stesso autore della Divina proportione - non è possibile al mondo farle meglio”. La collaborazione fra il matematico e il pittore avveniva tramite il libro di Euclide, che il primo traduceva in volgare ad uso del suo “conterraneo” toscano.

Gli studi di Augusto Marinoni sulla matematica di Leonardo hanno dimostrato inequivocabilmente come prima dell’incontro con Pacioli le conoscenze aritmetiche e geometriche del pittore fossero molto limitate e approssimative. L’arrivo a Milano di frate Luca dal Borgo coincise, invece, con un processo di acculturazione matematica di Leonardo, riscontrabile nei codici Forster II (1°), Madrid II, e nei manoscritti M, I, L e K (I e II) dell’Institut de France, databili nel periodo di frequentazione dei due toscani. L’analisi attenta e puntuale degli scritti matematici contenuti nei suddetti taccuini leonardeschi conduce Marinoni a questa conclusione:

Dal 1496 fino al 1504 circa Leonardo è in contatto continuo o saltuario, diretto o indiretto (tramite i libri di maestro Luca) col Pacioli. In questi anni si accende e sviluppa il suo amore per la geometria che si esplica sia nei disegni per la Divina proportione sia nello studio sistematico di Euclide, chiaramente dimostrabile per i primi sei libri e parte del decimo. La presenza di quest’ultimo fin dalle prime “lezioni” significa che Leonardo affrontò subito il problema dei numeri irrazionali, ovvero il rapporto tra segmenti fra loro incommensurabili, quali il lato e la diagonale del quadrato, il raggio e la circonferenza e il problema della cosiddette “radici sorde”. In questa fervida iniziazione di Leonardo ai problemi della geometria non dovrebbe porsi in dubbio la posizione del Pacioli, quale ispiratore, consigliere, maestro e traduttore. Tra l’omo sanza lettere e il difficile latino degli Elementi era indispensabile la mediazione di un letterato matematico quale era l’amico e, come amava chiamarsi maestro Luca, compatriota .

La relazione di frate Luca con Leonardo è un tipico caso di convergenza degli interessi della matematica dotta con la cultura dei pratici. Leonardo, che compra la Summa per 119 soldi (Atl 228r, già 104r.) e annota: “Impara la multiplicatione de le radici da maestro Luca” (Atl.331r, già 120r), è un allievo ideale per Pacioli. Al pittore, ormai quarantenne, frate Luca può insegnare il fondamento di tutte le arti e di tutto lo scibile: la teoria delle proporzioni.
La dottrina delle proporzioni è il nucleo del programma di matematizzazione del sapere perseguito da frate Luca. Leonardo dovette essere particolarmente interessato a questa dottrina, che si ritrova in maniera non trascurabile in almeno tre codici: il Madrid II, il Forser II (1°) e il ms. K dell’Institut de France. Il manoscritto Madrid II (ms.8936), contiene da f. 46v a f.50r, un riassunto della sesta distinzione della Summa, dedicato alle proporzioni e alla proporzionalità. Lo stesso albero di c. 78r, presente in questo codice, ricalca l’arbor proportionis et proportionalitatis contenuto nell’opera di frate Luca. Il codice Forster II (1°), dal f. 14r a 22r contiene appunti sulla teoria delle proporzioni che riconducono alla Summa. Nel manoscritto K, infine, costellato di numerosi riferimenti alle proposizioni degli Elementi di Euclide, si legge (f.49r) : “La proporzione non solamente nelli numeri e misure fia ritrovata, ma etiam nelli suoni, pesi, et tempi e siti e qualunque potenzia si sia”. La frase, che testimonia l’universalità dell’applicazione della teoria contenuta nel quinto libro degli Elementi, viene copiata parola per parola dalla Summa. Pacioli, a sua volta, la traduce dal commento del Campano all’opera di Euclide.


I tre riferimenti appena citati sono soltanto alcune delle tracce lasciate dall’insegnamento del frate della formazione di Leonardo. Altri indizi, costituiti dai numerosi disegni con i quali Leonardo trascrive nel suo linguaggio molte delle proposizioni dei primi sei libri degli Elementi, testimoniano secondo Marinoni le “lezioni” tenute da Pacioli su Euclide a beneficio dell’artista.
A queste lezioni è connessa probabilmente la traduzione in volgare di Euclide, alla quale frate Luca accenna nel De viribus quantitatis, quando afferma di aver “posta già la extrema mano con la egregia, per noi similmente, traductione de latino in vulgare de verbo ad verbum del maximo Monarcha dele Mathematici discipline megarense Euclide”.

La traduzione volgare dell’opera del “monarcha dele mathematici discipline” era stata incentivata molto verosimilmente dalla collaborazione con il “principe oggi fra i mortali” della pittura, Leonardo da Vinci. Il pittore, che ai ff.104v-138v del Madrid II ricopiò in elegante scrittura la traduzione volgare delle prime pagine degli Elementi, possedeva, peraltro, come si evince da un elenco di opere citate nel codice di Madrid 8936, i primi tre libri e non è escluso che l’Euclide volgare di Leonardo fosse opera del suo maestro di matematica, che lo aveva introdotto allo studio degli Elementi.

L'enigmatico ritratto di Luca Pacioli e i poliedri regolari

Nel Museo di Capodimonte, a Napoli, è conservato un dipinto che raffigura un frate matematico, affiancato da un giovane uomo con lo sguardo fisso verso l’osservatore. Il frate francescano sta illustrando la proposizione 8ª del XIII libro degli Elementi di Euclide: con l’indice della mano sinistra segue il testo euclideo; con la destra disegna su una lavagna la figura geometrica relativa al teorema, un triangolo equilatero inscritto nel cerchio. Il frate è Luca Pacioli, il giovane alla sua sinistra è probabilmente Guidubaldo da Montefeltro, duca di Urbino e suo mecenate. Sul tavolo trova spazio anche un ponderoso volume dalla coperta rossa, sormontato da un dodecaedro regolare di legno. Si tratta della Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità, una delle opere matematiche più importanti del Rinascimento, dedicata proprio a Guidubaldo da Montefeltro e stampata a Venezia nel 1494, dodici anni dopo l’altro incunabolo presente nel ritratto: gli Elementa in artem geometriae et Campani commentationes editi a Venezia da Erhard Ratdolt nel 1482.
In alto a destra, appeso ad un filo quasi impercettibile c’è un corpo semiregolare, costituito da 24 basi, delle quali 16 sono quadrati e 8 triangoli equilateri. Il solido è riempito a metà d’acqua e su di esso si riflette per tre volte il palazzo ducale di Urbino.Il ritratto di Luca Pacioli è uno dei rari dipinti dedicati ad un matematico e testimonia, oltre che la perizia pittorica del suo autore, anche la fama del frate di Sansepolcro alla fine del XV secolo. Le sue opere matematiche, anche grazie alla larga diffusione che ricevettero per mezzo della stampa, costituirono del resto il punto di riferimento di matematici, artisti e tecnici del Rinascimento.

In questo ritratto del frate sono presenti tutte le operazioni necessarie a trasformare gli oggetti astratti descritti nel testo in oggetti concreti tridimensionali: la proposizione degli Elementi, indicata dalla mano sinistra di Pacioli, riceve una prima visualizzazione grafica nella lavagna a destra del frate, sul bordo della quale è inciso il nome “Euclides”. La successiva operazione del passaggio dall’astratto al concreto è simbolicamente rappresentata da due solidi: il dodecaedro ligneo posto alla sinistra del frate e il corpo di 26 basi, appeso per un filo, come i solidi delle tavole di Leonardo.
Il rombicubottaedro, colmo a metà d’acqua, rifrange per tre volte, sulla sua superficie di cristallo, il Palazzo Ducale di Urbino. Il virtuosismo ottico con il quale l’autore del ritratto raffigura il palazzo di Urbino rimanda al personaggio che affianca Pacioli, e che sembra si possa identificare nel giovane Guidubaldo da Montefeltro, al quale il frate dedica la Summa. Com’è noto, Bernardino Baldi alla fine del XVI secolo, nelle sue Vite de’ matematici, riferiva di un’opera di Piero della Francesca, conservata “nela guardarobba de’ nostri serenissimi Principi di Urbino”, raffigurante il “ritratto al naturale d’esso frate Luca, col suo libro avanti dela Somma Aritmetica et alcuni corpi regolari finti di cristallo appesi in alto, ne’ quali e da le linee, e da’ lumi e da le ombre si scopre quanto Piero fosse intendente ne la sua professione”.
Quale che sia la relazione fra la descrizione del Baldi e l’opera conservata a Napoli, resta comunque evidente l’associazione tra frate Luca e le “forme materiali” dei poliedri regolari. A questo argomento, infatti, Pacioli dedicò gran parte delle sue ricerche e dei suoi studi dopo la stesura della Summa e l’incontro con Leonardo, alla corte di Ludovico il Moro, costituì senza dubbio l’occasione più proficua per realizzare un progetto grafico al quale il frate non poteva dare seguito senza l’aiuto di un pittore abile nella prospettiva. Chi meglio di “quella ineffabile senistra mano, a tutte le discipline mathematici acomodatissima,” poteva disegnare le tavole della Divina proportione?

Alcune ipotesi storiografiche, del resto, sulla base di risontri iconografici relativi al disegno del rombicubottaedro, ai tratti somatici di Pacioli e ai caratteri dell'alfabeto maiuscolo con in quali sono indicati la Summa e gli Elementi di Euclide, tendono a collocare lo ritratto di Pacioli all'interno della scuola di LEONARDO ( www.ritrattopacioli.it/ )

Un ponte culturale fra l'arte e la scienza: la figura di Luca Pacioli

Per inquadrare storicamente la figura di Luca Pacioli può essere utile in via preliminare distinguere due tradizioni culturali, per molti versi differenti sia nella concezione stessa delle scienze matematiche, sia nel loro uso applicativo: la prima è costituita dal sapere dei dotti, espresso nella lingua latina e coltivato o nelle Università o nelle corti e nei circoli umanistici del Rinascimento; la seconda è rappresentata dalla cultura pratica del cosiddetto strato culturale intermedio tra i dotti e gli analfabeti, costituito da artigiani, mercanti, pittori, architetti, maestri d’abaco, algebristi, ingegneri, idraulici, cartografi, meccanici, maestri d’artiglieria, insomma, in una parola dai tecnici, che adoperarono la lingua volgare e produssero, usando la scrittura mercantesca, una copiosa trattatistica di matematica pratica.

Tra le due tradizioni culturali, malgrado ci fosse nel Quattrocento qualche interscambio di alto livello, rimaneva comunque un fossato linguistico difficile da colmare. Anche un tecnico geniale come Leonardo, alla fine del secolo, lamentava questa disparità culturale fra le due tradizioni definendo se stesso come “omo sanza lettere”. Le “lettere” alle quali alludeva il vinciano erano appunto quelle latine e greche, che fino a tarda età gli restavano precluse senza l’aiuto di un traduttore intermediario. I cosiddetti “pratici vulgari”, del resto, tranne qualche rara eccezione, erano quasi sempre esclusi dall’accesso ai classici della scienza antica e arabo-latina, pure disponibili, ancora prima della febbrile attività umanistica, nelle traduzioni dall’arabo realizzate nel corso del XII secolo. L’opera di Pacioli fu in gran parte dedicata a colmare questo fossato linguistico e culturale e a fornire alle scienze matematiche una dignità scientifica e una centralità nell’ambito dello scibile umano che mai prima avevano conosciuto.

Per approfondire l'argomento mi permetto di consigliarvi : Argante Ciocci, Luca Pacioli tra Piero della Francesca e Leonardo, Aboca Museum Edizioni, 2009 facilmente reperibile nelle librerie Mondadori e in www.abocamuseum.it/editoria_new/edizioni/scientifiche/pacioli.aspx